初等数学讲义
Lectures on Elementary Mathematics
约瑟夫·路易·拉格朗日 传略
形式思维的很大一部分进步，当它不受外部原因阻碍时，归功于我们所称的简思符号（stenophrenic symbols）的发明。这些符号——所有书面语言和科学记号都是其实例——使人的心智摆脱对笨重、迂回的机械运算的考虑，为完成新的、尚未实现的思维任务节省精力。而那些最广泛使用简思符号的科学进步最为显著，数学和化学在此首屈一指。
古希腊人虽然作为一个民族具有非凡的数学天赋（即使承认他们的能力更偏视觉而非解析），但因缺乏简思符号而在分析学上几乎毫无进展。他们的算术是几何的一个分支，既不拥有零的符号，也不使用位值制。阿基米德那些历史性的计算——比如对 \(\pi\) 值的近似——由于缺乏合适的算术和代数符号，需要巨大的令人难以置信的劳动。
直到中世纪末，所谓的阿拉伯数字连同符号 0 和位值原理在全欧洲得以确立，计算艺术才取得了直接的进步。随后十六世纪意大利数学家得到了三次和四次方程的一般解。然而这些发现仍以类似心算的方式完成，因为加减号、等号、根号和指数符号——尤其是用字母系统地表示代数中一般量的做法——尚未普及。最后这一步明确归功于法国数学家韦达（Vieta, 1540–1603），由此引发的分析学巨大进步几乎无法估量。
在这一连串漫长的探索者中，约瑟夫·路易·拉格朗日（1736年1月30日生于都灵，1813年4月10日卒于巴黎）可说是这一过程的顶峰和最纯粹的表达。拉格朗日驾驭符号的能力，无论在他之前还是之后，都可能从未被超越。十五岁他已在都灵一所炮兵学校教授数学；十九岁他便做出了自微积分以来数学科学中最伟大的发现——创立了变分法的算法和方法。
1766年欧拉离开柏林前往圣彼得堡时，他和达朗贝尔说服腓特烈大帝任命拉格朗日为柏林科学院院长。拉格朗日在柏林居住了二十年，写出了一些最伟大的著作。法国大革命期间他留在巴黎，1788年发表了不朽的《分析力学》——哈密尔顿爵士称之为"科学的诗篇"。随后他被任命为新成立的高等师范学校和综合理工学校的数学教授，与拉普拉斯和蒙日一起开展教学活动。本书正是他1795年在高等师范学校所做系列讲座的记录。
拉格朗日先后两次结婚，凭借对身体的悉心照料活到了七十七岁高龄，无一年虚度。临终前一天，他指着自己的大脑说："Ma vie est là!"（我的生命就在这里！）
第一讲 · 算术，特别是分数与对数
算术分为两个部分。第一部分基于十进制记数法和排列数字符号来表示数的方式，包括加、减、乘、除四种基本运算——如果采用不同的进位制，这些运算会有所不同，但不难从一个制度转换到另一个。
第二部分独立于记数制度，基于量的考虑和数的一般性质。分数理论、幂和根的理论、等差和等比级数理论，以及对数理论，都属于这一部分。这一部分可以被看作普遍算术，与代数有密切的联系。因为如果我们不具体化所考虑的量、不以数值赋值，而是以完全一般的方式用字母来表示它们，我们就得到了代数。
分数与连分数
你们已经知道什么是分数。分数的概念比整数稍复杂一些。对于整数，我们只需考虑一个量的重复；而要达到分数的概念，则需要考虑把量分成若干等份。分数一般表示比率，用来以一个量表达另一个量。
当分子和分母都能被同一个数整除时，可以用一种非常巧妙的方法找到它们的最大公因数——这个方法归功于欧几里得。设想你有一段给定长度，想用一个度量单位来测量它。你先在给定长度上尽可能多地标出度量单位的倍数。如果没有余量，运算就完成了。但如果有余量，就需要对这个余量求值。
如果有余量，既然它小于度量单位，自然要求看这个余量在度量单位中包含多少次。假设包含两次，还剩一个余量。再把这个余量放到前一个余量上……如此继续下去，就得到了所谓的连分数。例如：
这种连分数可以用普通规则化简为普通分数。如果在第一个分数处截止，即只考虑第一个余量而忽略第二个，我们得到 \(3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\)。如果包含前两个余量，则得 \(3 + \frac{1}{2+\frac{1}{3}} = 3 + \frac{3}{7} = \frac{24}{7}\)。
以下是快速写出渐近分数的规则。设连续的商为 3, 2, 3, 5, 7, 3，则：
- 第一个分数（太小）：\(\frac{3}{1}\)
- 将前一分数的分子分母乘以第二个商并加上相应项，得第二个分数（太大）：\(\frac{7}{2}\)
- 同法得第三个分数（太小）：\(\frac{24}{7}\)
- 继续：\(\frac{127}{37},\;\frac{913}{266},\;\frac{2866}{835}\)
相邻两个渐近分数的差总是一个分子为1、分母为两个分母之积的分数：
连分数理论虽然不太为人所知，但在解决重要的数值问题中具有极大的用途。正是行星仪的制造促使惠更斯首先研究了连分数——因为行星运转的比率用很大的数表示，为了不使齿轮的齿数过多，有必要用较小的数来近似这些比率。
幂、比例与级数
一个数乘以自身得其平方，再乘以自身得其立方，依此类推。在几何中我们不超过立方，因为没有物体可以有三个以上的维度；但在代数和算术中可以任意进行下去。
每一个分数表达一个比率。有两个相等的分数，就有两个相等的比率，构成这些分数的数就形成所谓的比例。比如 2:4::3:6 构成一个比例，因为4是2的两倍正如6是3的两倍。
算术中许多规则依赖于比例理论，首先是著名的三率法。当比例的前三项已知时，要求第四项，只需将后两项相乘再除以第一项。
当几个数彼此之间保持相同的比率时，它们构成一个级数。等差级数中的量以相同的量增减；等比级数更为困难和重要——复利问题、贴现问题等都依赖于它。
以利率为例。利率二十意味着利息是本金的二十分之一，即通常所说的5%。在此基础上，本金在一年末将增长 \(\frac{21}{20}\) 倍。在十五年末本金几乎翻倍，在五十三年末增长十倍。因此，五十三年后才支付的一笔款项，其现值仅为面额的十分之一。
对数
关于对数最简单的概念是：把所有的数想象为10的幂；这些幂的指数就是这些数的对数。因此，两个数的乘除可以归结为它们指数（即对数）的加减；乘方和开方可归结为乘除——这在算术中具有无可估量的价值。
但在对数被发明的时代，数学家们尚未掌握幂的理论，不知道一个数的根可以用分数幂来表示。最初的想法是两个对应的数列——一个等差，一个等比。
纳皮尔（Napier）考虑两条线，第一条由一个点在相等的时间内描出等比级数的空间生成，另一条由一个点在相等的时间内描出等差级数的空间生成。他的著作于1614年问世。随后人们发现如果取10的对数为1（即 \(\log 100 = 2\) 等等），会更简便——这就是布里格斯（Briggs）的贡献。布里格斯和弗拉克（Vlacq）的对数表于1628年在荷兰古达出版，包含1到100000的所有数的十位小数对数。
求对数最自然的方法之一：取数 1, 10, 100, … 对应对数 0, 1, 2, …，在相邻项之间以等比中项和等差中项进行插值。例如求 \(\log 2\)：因为 2 在 1 和 10 之间，先求 \(\sqrt{10} = 3.16227766\)，对应对数为 0.5；再因为 2 在 1 和 3.16… 之间，再求中项 1.77827941，对应对数 0.25；如此反复，最终得 \(\log 2 = 0.3010300\)。
对数在音乐中也有明显的应用：如果用对数表达弦长，音程就可以简单地用两个音符数值的差来表示。如果要将八度音程等分为十二个半音（最简单和最精确的律制），只需把 \(\log\frac{1}{2}\) 等分为十二份即可。
第二讲 · 算术运算
一位古代作家曾说，算术和几何是数学的两翼。我认为我们可以说，这两门科学不仅是所有处理量的科学的基础，而且可以说是这些科学的拱顶石。无论何时我们得到一个结果，为了利用它，都需要将它转化为数字或线条——为此分别需要算术和几何。
补数减法
关于减法，有另一种经常更有利的执行方式——通过取被减数每一位的补数，将减法转换为加法。例如用 7853 减 2635：
5 关于 10 的补数是 5，加上 3 得 8；3 关于 9 的补数是 6，加上 5 得 11，写下 1 进 1；6 关于 9 的补数是 3，加上进位的 1 再加 8 得 12，写下 2 进 1；2 关于 9 的补数是 7，加上进位的 1 再加 7 得 15，写下 5。最后的十位借位须舍去，得到结果 5218。
这种方法在数字很大时极为方便，因为普通减法中需要借位时容易出错，而此法只需做加法和进位。
简化乘法与小数运算
在乘法中，我们通常从乘数的个位开始从右向左进行。但完全可以从左边开始，这样做有一个优点：最先给出最重要的高位数字。这与用对数计算的巨大优势相同——无论是乘除还是乘方开方，对数总是按数值从高到低的顺序给出结果。
对于含小数的乘法，这种方法使我们能方便地只计算所需精度的小数位数。另外，我们可以任意移动其中一个数的小数点——只要在另一个数中做相反的移动，乘积不变。这样总可以使其中一个数不含小数，简化计算。
数字 9 的性质
你们知道 9 的一个显著性质：如果一个数能被 9 整除，则它各位数字之和也能被 9 整除。这个性质使我们一眼就能看出一个数能否被 9 整除，以及除以 9 的余数是多少。
证明并不困难。它基于 \(10 - 1,\;100 - 1,\;1000 - 1,\;\ldots\) 都能被 9 整除这一事实（即 9, 99, 999, …）。从任一给定的数中减去它各位数字之和，余量等于十位数乘以9、百位数乘以99、千位数乘以999，等等——这个余量显然能被 9 整除。
代数表明这个性质对任何进位制中的数 \(a-1\) 都成立：\(a-1,\;a^2-1,\;a^3-1,\;\ldots\) 都能被 \(a-1\) 整除。因此在十二进制中，数字 11 将享有同样的性质。
余数理论的推广
由于我们数制中的每个数都是 1, 10, 100, 1000, … 各项的线性组合，所以任何数除以一个给定除数 \(D\) 的余数，等于 1, 10, 100, 1000, … 除以 \(D\) 的余数分别乘以对应的位数字之后求和。
设除数为 \(D\)，而 \(m, n, p, \ldots\) 分别是 1, 10, 100, 1000 除以 \(D\) 的余数。那么一个数 \(N\)（从右到左各位为 \(a, b, c, \ldots\)）除以 \(D\) 的余数为：
以除数 7 为例：1, 10, 100, 1000, … 除以 7 的余数为 \(1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, \ldots\)（循环出现）。用负余数可以简化运算。
对于 11：余数为 \(1, -1, 1, -1, \ldots\)。由此得到 11 的一个显著性质：将一个数的奇数位数字之和减去偶数位数字之和，差就是该数除以 11 的余数。
余数理论可以用来验算乘法和除法：将被乘数和乘数各除以 9（或 11）取余数，两个余数的乘积除以 9（或 11）的余数应当等于实际乘积除以 9（或 11）的余数。
三率法
三率法是算术中最重要的运算之一，即在已知比例的前三项时求第四项。本质上，它适用于一个量与另一个量成正比（或反比）增减的情况。
但必须注意：三率法严格地说仅适用于比率恒定的情况。一个桶在一定时间内排空——如果由此推断容量加倍则时间也加倍，那就错了，因为液体流出的速率并非恒定，而是随桶内液体量的减少而变化的。同样，匀速运动中的距离与时间成正比，但自由落体的距离则不然——第一秒下落16英尺，第二秒下落48英尺。
当规律变化时，三率法不再适用，普通的算术方法就力所不及了，必须借助代数。
混合法则与平均值
混合法则（alligation）用于不同价值的物品混合后求平均值。设有几蒲式耳不同价格的谷物，平均价格就是：总价值除以总蒲式耳数。
平均值在生活中几乎所有事务中都极为有用。由出生和死亡的登记，可以构建所谓的死亡率表。据此可以计算：一岁婴儿的平均余命约40年；十岁儿童仍为40年；20岁为34年；30岁为26年；40岁为23年；50岁为17年；60岁为12年；70岁为8年；80岁为5年。
反向的混合问题——已知平均值求各组分的比例——总是不定的。设两种物品的单价分别为 \(a\)（较贵）和 \(b\)（较便宜），要混合成均价为 \(m\) 的混合物，设取 \(x\) 份第一种和 \(y\) 份第二种，则：
对于三种或更多物品的情形，问题可归结为求两个给定数的倍数之差等于某个给定值——这可由连分数理论解决。
第三讲 · 代数，特别是三次和四次方程的求解
代数简史
代数几乎完全是近代人的科学。我说"几乎"，因为我们从希腊人那里有一部著作——丢番图的著作。他活跃于公元三世纪，可被视为代数的创始人。他用一个希腊字母来表示未知量，用纯数字来表示已知量。他的著作主要包含不定问题（后称为丢番图问题），但也涉及一些一次和二次确定方程。
在丢番图被发现和出版之前，代数已经通过阿拉伯人传入欧洲。十五世纪末，意大利方济各会修士卢卡·帕乔利（Lucas Paciolus）在威尼斯出版了一部关于算术和几何的著作（1494年），其中陈述了代数的基本规则。"代数"（algebra）这个名称来自阿拉伯语，说明它确实来自阿拉伯人。
随后，三次方程的解法被发现：首先由博洛尼亚的费雷乌斯（Scipio Ferreus, 1515年）对特殊情形给出解法，之后由塔尔塔利亚和卡尔丹完善并推广。同一时期（约1545年），博洛尼亚的路易斯·费拉里用巧妙的方法解决了四次方程。但此后两个多世纪的努力都未能突破五次方程的壁垒。
三次方程的求解——卡尔丹公式
考虑去掉第二项的一般三次方程：
设 \(x = y + z\)，代入得：
令 \(3yz + p = 0\) 和 \(y^3 + z^3 + q = 0\)，由此得 \(yz = -\frac{p}{3}\)，\(y^3 + z^3 = -q\)，\(y^3 z^3 = -\frac{p^3}{27}\)。因此 \(y^3\) 和 \(z^3\) 是以下二次方程的两个根：
设其两根为 \(A\) 和 \(B\)：
则三次方程的三个根为：
其中 \(m = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\)，\(n = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) 是单位的三个立方根中的虚根。
不可约情形
当 \(\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} < 0\) 时（要求 \(p\) 为负且 \(|p|\) 足够大），二次降阶方程的根 \(A, B\) 是共轭虚数。这就是所谓的不可约情形（casus irreducibilis）。
悖论在于：恰恰在不可约情形下，方程的三个根全部为实数，但它们的表达式却必须借助虚数。拉格朗日证明了这一点：
如果 \(\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = h\) 是实数，那么另外两个根 \(m\sqrt[3]{A} + n\sqrt[3]{B}\) 和 \(n\sqrt[3]{A} + m\sqrt[3]{B}\) 也必然是实数。而且只有在不可约情形下三个根才能全部为实。
不可约情形与三等分角有密切联系。可以证明，在半径为 \(r\) 的圆中，若弦长为 \(c\)，则该弧三分之一的弦 \(x\) 满足：
这正是不可约情形的方程。因此三次方程在不可约情形下的解可以通过三等分角来几何地表示。
四次方程
考虑去掉第二项的一般四次方程：
设 \(x = y + z + t\)，经过类似三次方程的处理，可以将问题归结为一个三次降阶方程：
设此三次方程的三个根为 \(a, b, c\)，则四次方程的四个根为：
其中正负号的组合受限于 \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}\) 的符号必须与 \(-q\) 的符号一致，因此恰好给出四个根。
第四讲 · 数值方程的求解
我们已经看到二次、三次和四次方程如何求解。五次方程构成了分析学家的一道壁垒——他们最大的努力也未能逾越——而方程的一般求解是代数中尚待完成的事业之一。
方程的曲线表示
有一种更一般、更简洁的方法来研究方程——将代数方程的性质可视化。取一般 \(m\) 次方程：
将左端不令其等于零，而是令其等于 \(y\)。在一条直线上标出 \(x\) 的不同值（以某固定点 \(O\) 为原点），在每个点上竖直方向标出对应的 \(y\) 值。所有这些垂线端点的轨迹就构成一条曲线——方程的图像。这条曲线与横轴的交点就给出了方程的根。
关于根的一般性质
从曲线的考虑可以得出以下重要结论：
（1）曲线连续且单值，可向两个方向无限延伸。对于每一个有限的 \(x\) 值，\(y\) 也是有限的。
（2）曲线不能从横轴的一侧穿到另一侧而不穿过横轴；也不能回到同一侧而不穿过横轴两次。因此：
- 若两个 \(x\) 值给出的 \(y\) 值异号，则它们之间至少有一个（奇数个）实根。
- 若两个 \(x\) 值给出的 \(y\) 值同号，则它们之间有偶数个（可能为零）实根。
奇数次方程必有至少一个实根。偶数次方程若末项为负，则至少有一个正实根和一个负实根。
根的界限
设 \(k\) 是方程所有负系数中最大的一个。令 \(x = k+1\)，可以证明 \(x^m\) 一定大于所有负项之和。因此方程不可能有等于或大于 \(k+1\) 的根。
更精确地：如果 \(m-n\) 是第一个负项所对应的 \(x\) 的指数，\(l\) 是负项系数中最大的，则只需取 \(k = \sqrt[n]{l}\) 即可。对正根和负根分别确定上界和下界后，所有实根都将被限制在这些界限之间。
根的分离与数值逼近
为了找出方程的所有实根，我们需要找到一个量 \(D\)，使其小于任意两个相邻根之间的最小距离。然后在界限之间以 \(D\) 为步长取等差数列，逐一代入方程左端。当相邻两个代入值给出异号结果时，其间必有至少一个根。之后可以通过进一步的逐次代入，将两个界限越缩越近，趋近到我们想要的精确度。
量 \(D\) 的确定可通过以下途径：构造差分方程（其根是原方程各根的差），然后求此方程最小根的下界。虽然直接求差分方程在高次情形下极为繁杂，但拉格朗日发展了一套利用原方程导数（即 \(Q = mx^{m-1} + (m-1)px^{m-2} + \cdots\)）来间接确定 \(D\) 的方法。
此外，拉格朗日还给出了一种用直尺构造曲线的精巧几何方法：将方程写为 \(y = a + bx + cx^2 + dx^3 + \cdots\)，在一组可动的连杆上依次标出系数 \(a, b, c, d, \ldots\)，通过一系列相似三角形的构造，对每一个 \(x\) 值可直接找到对应的 \(y\) 值。原则上可以制造一台机械装置来描绘方程的曲线并求解方程。
第五讲 · 曲线在问题求解中的应用
当代数和几何各走各的路时，它们的进步是缓慢的，应用也是有限的。但当这两门科学携手合作时，它们相互汲取新的活力，从此以快速的步伐走向完美。将代数应用于几何的功绩归于笛卡尔——这一应用提供了数学各分支最伟大发现的钥匙。
两光源问题
设在连接两个已知强度发光点的线段上寻找一个点，使其接收到给定的光照量。设两光源间距为 \(a\)，所求点距第一个光源为 \(x\)，两光源在单位距离处的强度分别为 \(M\) 和 \(N\)。光照强度与距离平方成反比，因此方程为：
考虑曲线 \(y = \frac{M}{x^2} + \frac{N}{(a-x)^2} - A\)：
- 当 \(x \to 0\) 或 \(x \to a\) 时，\(y \to +\infty\)
- 在 \(0 < x < a\) 之间，\(y\) 先下降后上升
- 若 \(y\) 的最小值小于零，曲线在两光源之间切穿横轴两次——问题有两个解
- 若最小值恰好为零——一个解（两解重合）
- 若最小值大于零——在两光源之间无实数解
但在两光源的延长线上，问题总是有解的。\(y\) 的最小值在 \(\frac{x}{a-x} = \sqrt[3]{\frac{M}{N}}\) 时达到，最小值为 \(\frac{(\sqrt[3]{M}+\sqrt[3]{N})^3}{a^2}\)。
误差曲线法
曲线方法可以进一步推广，使之不依赖于问题的方程。只需考虑问题的条件本身：给未知量以不同的任意值，然后根据原始条件计算每个假设所产生的误差。以这些误差为纵坐标、相应的未知量值为横坐标，便得到一条连续曲线——误差曲线。这条曲线与横轴的交点就给出问题的所有解。
这种通过误差曲线来解决问题的方法是最有用的方法之一。它在天文学中被经常使用，也可用于几何、力学甚至物理学的重要问题。它本质上就是试位法（regula falsi）的最一般形式。
拉格朗日用两个例子说明了这一方法：
例1：求一个圆，使得给定边长的多边形能内接于其中。先任意画一个圆，在其中依次标出给定边长。如果末边端点与起点重合，问题已解。否则，差距就是误差。改变半径，重复操作，记录多组误差，画出误差曲线，由交点确定正确的半径。
例2：已知三个物体之间的距离和观察者看三个物体所成的三个角度，求观察者的位置。这可以归结为一个四次方程，但用误差曲线法可以直接逐步逼近。
牛顿插值公式
最后，拉格朗日介绍了抛物线插值方法——即用形如 \(y = a + bx + cx^2 + dx^3 + \cdots\) 的多项式通过任意多个给定的点。
牛顿最先提出这个问题。设已知横坐标 \(p, q, r, s, \ldots\) 对应纵坐标 \(P, Q, R, S, \ldots\)，则通过逐次差商：
可得牛顿插值公式：
但拉格朗日指出，同一结果可以用一种更简洁的形式表达——后世称为拉格朗日插值公式：
其中
这一公式不仅形式更简洁，而且计算也更方便。它在补充观测或实验数据中的缺失值时极为有价值。将它反过来使用——以误差为自变量、以假设值为因变量——还可以直接求出使误差为零的未知量值，而无需画出误差曲线。
附录 · 关于代数起源的注记
认为丢番图是代数的"发明者"——代数以丢番图的形式从他的头脑中完整地跃出——这种印象在十八世纪和十九世纪初非常普遍。但除了这种观点本身就与科学几乎总是渐进和有机增长这一真理相矛盾之外，近代的历史研究已将代数的萌芽和开端追溯到更早的年代。
埃及人阿梅斯（Ahmes）的书中包含一次方程的例子。早期希腊数学家通过几何方法部分地解决了二次和三次方程。根据塔纳利（Tannery）的研究，不定分析的雏形在基督教之前就已存在（阿基米德、赫隆、海帕提亚斯）。但丢番图作为更系统的速记法的组织者和创始者的功绩——至少在欧洲的传统中——是不可否认的。
此外还应注意印度代数的发展。阿拉伯人与印度有着广泛的交流，从印度人的著作中汲取了不少早期知识。他们的代数同时建立在印度和希腊的基础之上。
本文译自拉格朗日《初等数学讲义》（Lectures on Elementary Mathematics），
原为1795年在巴黎高等师范学校所做讲座，由 Thomas J. McCormack 英译（1898年）。
中文版仅供学习参考。